Permutasi

A. Permutasi

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia ( ditulis Prn atau nPr ) adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan.

Rumus dari permutasi r unsur adalah :

nPr = n! / (n - r)!

Contoh soal :

1. Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekertaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah..

 Jawab :

Diketahui :

n = semua unsur = 5

r = sample unsur = ketua, sekertaris, bendahara = 3

nPr = n! / (n - r)!

      = 5! / (5 - 3)!

      = 5.4.3.2! / 2!

      = 60 cara

Atau

nPr = n! / (n - r)!

       = 5! / (5 - 3)!

       = 5.4.3.2.1 / 2!

       = 120 / 2

       = 60 cara

Apabila soalnya seperti ini, maka seperti inilah cara menjawabnya :

Berapa banyak susunan huruf berbeda dari kata GELANGGANG ?

Jawab :

Diketahui :

n = semua unsur = semua jumlah huruf = 10

G = 4, E = 1, L = 1, A = 2, N = 2

10P( 4,1,1,2,2) = 10! / 4! . 1! . 1! . 2! . 2!

                         = 10.9.8.7.6.5.4! / 4! . 1 1 2.1 2.1

                         = 151.200 / 4

                         = 37.800

Jadi, bisa kita ambil rumus yaitu :

n = r

nPn = n!nP(n1, n2, n3,....) = n! / n1! n2! n3! ....

B. Permutasi Siklus

Permutasi siklus adalah menghitung berapa banyak susunan terurut yang mungkin dari jumlah n objek yang berbeda yang ditempatkan secara melingkar.

Rumus dari permutasi siklus adalah :

nPsiklis = (n - 1) !

Berikut contoh soal :

1. Pada suatu rapat tertutup yang dihadiri oleh 5 orang di suatu meja yang berbentuk lingkaran. ada berapa sehingga kedudukan seorang peserta rapat lainnya,

Jawab :

Diketahui :

n = nilai semua = 5 

nPsiklis = (n - 1)! 

5Psiklis = (5 - 1)!

             = 4!

             = 4.3.2.1

             = 24

 C. Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia ( ditulis Crⁿ atau nCr ) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan unsur yang tersedia dengan tidak memperhatikan urutan.

Rumus dari kombinasi adalah :

nCr = n! / r! (n - r)!

Contoh soal :

1. Suatu rapat dihadiri 7 orang. dalam rapat tersebut akan dipilih 3 orang untuk berbicara. banyak cara memilih ketiga orang tersebut ada ... cara.

Jawab :

Diketahui :

n = semua unsur = 7

r  = sampel unsur = 3

nCr = n! / r! (n - r)!

       = 7! / 3! (7 - 3)!

       = 7! / 3! 4!

       = 7.6.5.4.3.2.1 / 3.2.1 4.3.2.1

       = 210 / 6

       = 35

Notasi Faktorial

Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial, tanda (!) disebut dengan notasi faktorial

Sehingga kita dapat menarik kesimpulan bahwa :

Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) didefinisikan dengan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x .... x 3 x 2 x 1

Dari definisi itu, maka kita juga memeroleh :

n! = n(n-1)!

Nilai dari 1! = !. Oleh karena itu, untuk n=1, diperoleh :

1! = 1(1-1)

1 = 0!

Jadi untuk 0! bernilai 1

0! = 1

Sedangkan apabila nilai n faktorial (n!) bernilai negatif maka hasilnya adalah tak terdeteksi , (-6)! = tak terdeteksi (~)

Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600...

Contoh Soal :

1. 5! = ...? 

Jawab :

n! = n x (n - 1) x (n - 2) x .....
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 

    = 120

2. 9! = ...?

Jawab :

n! = n x (n - 1) x (n - 2) x .....
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
    = 362.880